相关性强弱判定

​ 我们知道，两个变量x和y正(负)相关时，它们就有相同(反)的变化趋势，即当x由小变大时，相应的y有由小(大)变大(小)的趋势，因此可以用回归直线来描述这种关系。与此相关的一个问题是:如何描述x和y之间的这种线性关系的强弱?例如，物理成绩与数学成绩正相关，但数学成绩能够在多大程度上决定物理成绩，这就是相关强弱的问题。类似的还有吸烟与健康的负相关强度、父母身高与子女身高的正相关强度、农作物的产量与施肥量的正相关强度等.
​ 统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱。若相应于变量x的取值，变量y的观测值为$y_i$(1≤i≤n),则两个变量的相关系数的计算公式为
$$
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2} \sum_{j=1}^{n}\left(y_{j}-\overline{y}\right)^{2}}}
$$
不同的相关性可以从散点图上直观地反映出来。图1、图2反映了变量x和y之间很强的线性相关关系，而图4中的两个变量的线性相关程度很弱。对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正时，表明变量x和y正相关；当r为负时，表明变量x和y负相关，反映在散点图上，图1中的变量x和y正相关，这时的r为正，图2中的变量x和y负相关，这时的r为负.
另一个值得注意的是r的大小。统计学认为，对于变量x, y,如果r∈[-1,-0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75, 1]，那么正相关很强;如果r∈(-0. 75,-0.30]或r∈[0.30, 0.75)，那么相关性一般;如果r∈[-0.25, 0.25],那么相关性较弱。反映在散点围上，图1的r=0.97,这些点有明显的从左下角到右上角沿直线分布趋势，这时用线性回归模型描述两个变量之间的关系效果很好；图2的r=-0.85，这些点也有明显的从左上角到右下角沿直线分布趋势，这时用线性回归模型描述两个变量之间的关系也有好的效果;图3的r=0.24,这些点的分布几乎没有什么规则，这时不能用线性
回归模型描述两个变量之间的关系；图4的r=-0.05，两个变量之间几乎没有什么关系，这时就更不能用线性回归模型描述两个变量之间的关系.