一、行列式的概念
行列式是一个数，它是不同行不同列元素乘积的代数和
例如，大家所熟悉的三阶行列式
$$
\left|\begin{array}{lll}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \ {c_{1}} & {c_{2}} & {c_{3}}\end{array}\right|=a_{1} b_{2} c_{3}+a_{2} b_{3} c_{1}+a_{3} b_{1} c_{2}-a_{3} b_{2} c_{1}-a_{2} b_{1} c_{3}-a_{1} b_{3} c_{2}
$$
n阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right|
$$
是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
$$
a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}
$$
的代数和，这里 $$
j_{1} j_{2} \cdots j_{n}
$$ 是 $$
1,2, \cdots, n
$$ 的一个排列.当 $$
j_{1} j_{2} \cdots j_{n}
$$ 是偶排列时，该项的前面带正
号;当 $$
j_{1} j_{2} \cdots j_{n}
$$ 是奇排列时，该项的前面带负号，即
$$
\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right|=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{r\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}
$$
这里 $$
\sum_{i_{1} j_{2} \cdots j_{n}}
$$表示对所有n阶排列求和. 上式称为n阶行列式的完全展开式.
二、行列式的性质
记 $$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right|,\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{21}} & {\cdots} & {a_{n 1}} \ {a_{12}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{n 2}} \ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \ {a_{1 n}} & {a_{2 n}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right|
$$
行列式 $$
\left|A^{\mathrm{T}}\right|
$$ 称为 $$
|A|
$$ 的转置行列式
