极限与导数

最近学了一些基础微积分，这里稍微记录一下。

极限

极限可以当做是一个函数f(x)f(x)的xx无限趋近于某一个常数或无穷远处时，函数数值所逼近的一个值。例如，对于函数
$$
f(x)=2xx+1f(x)=2xx+1
$$
，当xx趋近于无穷大时，f(x)f(x)无限趋近于22。我们将此记成这样子：

$$
limx→∞f(x)=limx→∞2xx+1=2limx→∞f(x)=limx→∞2xx+1=2
$$

求极限需要会一点代数技巧，我反正是老是求不出……

极限有一些方便的性质：
当然，这些等式的左边都是存在极限的。

$$
limx→ca⋅f(x)=a⋅limx→cf(x)limx→ca⋅f(x)=a⋅limx→cf(x)
$$

对于两个函数f(x)f(x)和g(x)g(x)之间极限的关系：（当然f(x)f(x)和g(x)g(x)都要存在极限）

$$
limx→c[f(x)+g(x)]=limx→cf(x)+limx→cg(x)limx→c[f(x)+g(x)]=limx→cf(x)+limx→cg(x)
$$

$$
limx→c[f(x)−g(x)]=limx→cf(x)−limx→cg(x)limx→c[f(x)−g(x)]=limx→cf(x)−limx→cg(x)
$$

$$
limx→cf(x)⋅g(x)=limx→cf(x)⋅limx→cg(x)limx→cf(x)⋅g(x)=limx→cf(x)⋅limx→cg(x)
$$

$$
limx→cf(x)g(x)=limx→cf(x)limx→cg(x)(limx→cg(x)≠0)limx→cf(x)g(x)=limx→cf(x)limx→cg(x)(limx→cg(x)≠0)
$$
简而言之，极限这东西可以加减乘除。

导数

对于函数f(x)f(x)而言，它在x0x0处的导数是这么定义的：

$$
limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)ΔxlimΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
$$

从几何意义上讲，这个值可以视为是f(x)f(x)的图像在x0x0处的切线的斜率。当然不是所有的函数都是可以求导数的，只有在那一段上是连续的函数时，才会有导数。
连续的函数f(x)f(x)在其定义域内的每一点上都可以计算导数，意味着每一个xx都会对应一个导数，这样就形成了一个函数关系。我们将这个函数叫作导函数，记作f′(x)f′(x)。

如何求导函数呢？根据导数的定义，我们将x0x0换为xx，然后求极限就好了。然而说的轻巧，实际上很多都比较难以求出，因此早有先人为我们把各种导函数算好了。

举一个典型的例子
$$
f(x)=x2f(x)=x2
$$
。按照求导数的方法：

$$
f′(x)=limΔx
$$
$$
→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx
$$
$$
→0(x+Δx)2−x2Δx=limΔx
$$
$$
→0Δx2+2xΔxΔx=limΔx
$$
$$
→0(Δx+2x)=2xf′(x)=limΔx
$$
$$
→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx
$$
$$
→0(x+Δx)2−x2Δx=limΔx
$$
$$
→0Δx2+2xΔxΔx=limΔx
$$
$$
→0(Δx+2x)=2x
$$

事实上，对于幂函数
$$
f(x)=xαf(x)=xα，其导函数为，其导函数为
$$
，其导函数为
$$
f′(x)=αxα−1f′(x)=αxα−1
$$
。

导数与导数之间存在运算关系，有了这些运算关系，我们就可以方便地进行求导。
类似于线性的性质：
$$
[a⋅f(x)+b⋅g(x)]′=a⋅f′(x)+b⋅g′(x)[a⋅f(x)+b⋅g(x)]′=a⋅f′(x)+b⋅g′(x)
$$

两个导数相乘：
$$
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
$$

两个导数相除：
$$
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)
$$

复合函数：
$$
[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)
$$

一些基本函数的导函数就放这里了，当我们要求一个特定函数的导函数时，可以利用上面的规则，然后根据导函数表来计算。下面只有xx是变量。
$$
c′=0c′=0
$$

$$
x′=1x′=1
$$

$$
(xα)′=αxα−1(xα)′=αxα−1
$$

$$
(ex)′=ex(ex)′=ex
$$

$$
(ax)′=axlna(ax)′=axln⁡a
$$

$$
(lnx)′=1x(ln⁡x)′=1x
$$

$$
(logax)′=1xlna(loga⁡x)′=1xln⁡a
$$

$$
sin′x=cosxsin′⁡x=cos⁡x
$$

$$
cos′x=−sinxcos′⁡x=−sin⁡x
$$

$$
tan′x=1cos2xtan′⁡x=1cos2⁡x
$$

$$
cot′x=−1sin2xcot′⁡x=−1sin2⁡x
$$

对数求导法

上面的求导公式已经能够应对大部分基本函数的求导了，但是对于下面的函数：
$$
f(x)=x1/xf(x)=x1/x
$$
该如何求导呢？
这就要用到对数来进行求导。

我们知道，对于一个函数f(x)f(x)：
$$
[lnf(x)]′=ln′f(x)⋅f′(x)[ln⁡f(x)]′=ln′⁡f(x)⋅f′(x)
$$

换言之：
$$
f′(x)=[lnf(x)]′ln′f(x)(1)(1)f′(x)=[ln⁡f(x)]′ln′⁡f(x)
$$
利用这一点，我们就可以对
$$
f(x)=x1/xf(x)=x1/x
$$
求导。首先，为了方便我们设：
$$
y=x1/xy=x1/x
$$
由于两者相等，所以两者的对数也应相等：
$$
lny=lnx1/x=1xlnxln⁡y=ln⁡x1/x=1xln⁡x
$$

将两边对xx求导。注意按照(1)(1)式，左式需要乘上y′y′两者才能相等。
$$
y′y=1−lnxx2y′y=1−ln⁡xx2
$$

于是我们可以得到：
$$
y′=1−lnxx2y=1−lnxx2x1/x=f′(x)y′=1−ln⁡xx2y=1−ln⁡xx2x1/x=f′(x)
$$

这样我们就完成了求导。
既然都对这个函数求过导了，我们来验证一下它的一个性质。
将ee代入导函数：
$$
f′(e)=1−lnee2e1/e=1−1e2=0f′(e)=1−ln⁡ee2e1/e=1−1e2=0
$$

因此我们发现
$$
x=ex=e
$$
是这个函数的极值点。